Tasas relacionadas

Son problemas donde se desea calcular la rapidez con que cambia una cantidad en términos de la razón de cambio de otras cantidades.

La relación de variación de todas las cantidades se representa mediante un modelo matemático.

Se resuelven usando derivadas implícitas.
PASOS PARA RESOLVER ESTOS EJERCICIOS


  • De ser posible trazar diagramas que describan el problema.
  • Designar con símbolos todas las cantidades dadas y por calcular, ambas, que varían con el tiempo.
  • Analizar el problema para conocer que razones de cambio se conocen y cuales se desean calcular.
  • Plantear una ecuación que relacione las variables cuyas razones de cambio están dadas o desean determinarse.

TUTORIALES SOBRE TASAS RELACIONADAS

VIDEO No. 1


VIDEO No. 2



PROBLEMAS RESUELTOS 

EJEMPLO No. 1
La base de un rectángulo aumenta a razón de 3cm/s y la altura disminuye a razón de 2 cm/s. Cuando la base es de 20 cm y la altura es de 10 cm, explica que tan rápido aumenta o disminuye el área del rectángulo.

Solucion:

Datos: Y=10cm
Y’=-2cm/s

X=20cm
X’=3cm/s

A=xy
A’=xy’ + x’y

En el tiempo dado: A’=20(-2)+(3)(10)= -40+30=-10
El área disminuye a razón de 10cm2/s
EJEMPLO No. 2



Suponer que se tiene un recipiente cónico con agua, como el que se muestra en la figura. Cuando el agua sale del recipiente, el volumen V, el radio r y la altura h del nivel del agua son, las tres, funciones que dependen del tiempo t. 
 
Estas tres variables están relacionadas entre sí, por la ecuación del volumen del cono; a saber: 

\begin{displaymath}\,\,V = \,\,\frac{\,\pi }{\,3\,}\,\,r^2\,h\,\,(*)\end{displaymath}

Por otra parte, derivando implícitamente ambos lados de (*) respecto del tiempo $t$, se obtiene la siguiente ecuación de razones relacionadas: 

\begin{displaymath}\frac{dV}{dt\,}\,\, = \,\,\,\frac{\pi }{\,3\,}\,\,\left[ {\,... ...,h\,\,\frac{dr}{dt\,}\,\, + \,\,r^2\,\frac{dh}{dt\,}\,} \right]\end{displaymath}



Se puede observar que la razón de cambio del volumen, está ligada a las razones de cambio de la altura y del radio, en donde: 
  1. $\displaystyle{\frac{dV}{dt\,\,}}\;$ es la razón o rapidez a la cual varía el volumen con respecto al tiempo
  2. $\displaystyle{\frac{dr}{dt\,}}\;$ es la razón o rapidez a la cual varía el radio con respecto al tiempo
  3. $\displaystyle{\frac{dh}{dt\,}}\;$ es la razón o rapidez a la cual varía la altura con respecto al tiempo 
Así, por ejemplo, $\displaystyle{\frac{dV}{dt\,\,}}\,\, = \,\,10\, m{3}/seg \; \;$ significa que el volumen está aumentando $10 \, m^{3}$ cada segundo; mientras que, $\displaystyle{\frac{dV}{dt\,\,}}\,\, = \; \; - 10\, m^{3}/seg\; \;$ significa que el volumen está disminuyendo $10 \, m^{3}$ cada segundo. 

EJEMPLO No. 3





Un hombre se aleja de un edificio de 18 metros de altura, a una velocidad de 1,8 metros por segundo. Una persona en la azotea del edificio observa al hombre alejarse. ¿A qué velocidad varía el ángulo de depresión de la persona en la azotea hacia el hombre, cuando éste dista 24 metros de la base de la torre?





SOLUCIÓN Sea $x$ la distancia recorrida por el hombre en el instante $t$. Sea $\alpha $ la medida, en radianes, del ángulo de depresión en el instante $t$.

Dato: Rapidez con que el hombre se aleja del edificio; o sea,$\displaystyle{\frac{dx}{dt\,}\,\, = \,\,1\,,\,8 m/seg}$.
Encontrar: Variación del ángulo de depresión cuando el hombre se encuentra a 24 metros de distancia del edificio; es decir, $\displaystyle{\left. {\frac{d\alpha }{dt\,}\,\,} \right\vert _{\,\,x\, = \,24\,\,\,m} }$
La ecuación que relaciona las variables está dada por la razón: $\tan \,\alpha \,\, = \,\,\frac{18}{\,x\,} \; \; $ (*)
La ecuación de razones relacionadas se obtiene derivando implícitamente a ambos lados de (*), con respecto del tiempo, lo cual nos conduce a:


\begin{displaymath}\left( {\,\sec ^2\alpha } \right)\,\,\frac{d\alpha }{dt\,}\,\... ...os ^2\alpha \,}{x^2}} \right)\,\,\frac{dx}{dt\,}\; \; \; \;(**)\end{displaymath}




Finalmente, para determinar la variación del ángulo de depresión en el instante en que $x = 24$, primero se debe calcular el valor para el $\cos \,\alpha $ en ese mismo instante.
Ahora bien, dado que:$\tan \,\alpha \,\, = \,\,\frac{18}{\,x\,} \quad \Rightarrow \quad \tan \,\alpha... ...frac{3}{\,4\,} \quad \Rightarrow \quad \cos \,\alpha \,\, = \,\,\frac{4}{\,5\,}$
Por lo tanto, sustituyendo $\cos \,\alpha \,\, = \,\,\frac{4}{\,5\,}$ y $\frac{dx}{dt\,}\,\, = \,\,1\,,\,8\,\, = \,\,\frac{9}{\,5\,}$ en (**) se obtiene que


\begin{displaymath} \frac{d\alpha }{dt\,}\,\,\, = \,\,\,\frac{ - 18 \cdot 16 \cd... ...tarrow \quad \frac{d\alpha }{dt\,}\,\,\, \cong \,\, - \,0,036. \end{displaymath}


Se concluye que, el ángulo de depresión disminuye a una velocidad de 0,036 radianes cada segundo. 


EJEMPLO No. 4
La ley de Boyle dice que cuando un gas se comprime a temperatura constante la presión P y el volumen V satisfacen la ecuación PV=C, donde C es una constante. Suponga que en cierto instante el volumen es de 600 cm3, la presión es 150 kPa, y la presión crece a una tasa de 20 kPa/min. ¿A qué tasa cambia el volumen en ese instante?

Solucion:
Datos: V= 600cm3
P= 150 kPa
dp/dt= 20kPa/min

dv/dt =?

P*V=C
dp/dt*V + P*dv/dt = 0

dv/dt= -dp/dt*v/p

dv/dt= -(20)(600)/1500

dv/dt= -80 cm3/min

EJEMPLO No. 5



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