Tasas relacionadas y optimización : Optimización

La optimización se refiere al tipo de problema que se ocupa de la determinación de la forma más apropiada para realizar cierta tarea. Con el fin de resolver estos problemas, se calculan los valores mínimos y máximos de la función. Estos incluyen encontrar la distancia mínima para llegar a un punto, el costo mínimo para hacer determinada operación, etc. La función cuyo máximo o mínimo necesita determinase por lo general está sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.

Los siguientes pasos pueden ayudarte a desglosar un problema de optimización:

1). Lo primero y más importante es identificar las variables y constantes de la función. Esto ayuda a determinar la parte de la función que será minimizada o maximizada.

2). Escribir la fórmula adecuada para la función particular, para lo cual tenemos que calcular el mínimo o máximo.

3). Ahora, la fórmula será escrita en términos de una sola variable, es decir, f(r).

4). Establezca la diferenciación de f(r) a 0, f ‘(r) = 0, y resuelva a través de observar todas las limitaciones y otros valores críticos para encontrar los valores extremos.

TUTORIALES SOBRE OPTIMIZACIÒN

VIDEO No. 1

VIDEO No. 2

PROBLEMAS RESUELTOS

EJEMPLO No. 1

Hallar un número tal que el exceso sobre su cuadrado sea máximo.

Consideremos un número cualquiera, x. El exceso de x sobre su cuadrado se expresará:

y=x−x2

Solucion:

Lógicamente, cuando el valor absoluto de x sea mayor que la unidad, el exceso de su cuadrado será negativo, por lo que x deberá ser un valor comprendido entre 0 y 1.

De todos modos, para determinar exactamente el número buscado, calculamos la derivada de la función exceso e igualamos a cero:

y′=1−2x=0→x=12

Para saber si el valor obtenido nos da un máximo o un mínimo, calculamos la segunda derivada:

y′=1−2x→y"=−2

Y puesto que el valor resultante es negativo, tendremos un máximo.

EJEMPLO No. 2

Disponemos de 100 m. de alambre para vallar un campo rectangular. Calcula las dimensiones que debe tener dicho campo para que la superficie vallada sea máxima.

El problema nos dice que disponemos de 100 metros de alambre para vallar el campo, luego lo que nos está proporcionando es el perímetro que deberá tener el rectángulo y, por tanto, una condición que nos relaciona x e y.

2x + 2 y = 100

Simplificamos para obtener x + y = 50 y despejamos y = 50 − x

Sustituimos en la función área y así A(x, y) = x ⋅ y → A(x) = x(50 − x) = 50x − x ²

Derivamos la función:

A'(x) = 50 − 2x e igualamos a 0 para ver los valores que anulan a la 1ª derivada

A'(x) = 0 → 50 − 2x = 0 ⇒ x = 25 Calculamos ahora la 2ª derivada

A''(x) = −2 , es decir, A''(x) < 0 para cualquier valor de x, en particular para x=25 y, de esta forma, el valor x = 25 es un máximo para la función.

Si x = 25 está claro que también y = 25 sin más que despejar en la ecuación del perímetro. El campo tiene pues forma de cuadrado de 25 m. de lado.

EJEMPLO No. 3

Con una cartulina cuadrada de 18 cm² de lado, se desea construir una caja y para ello se corta un pequeño cuadrado en cada esquina de la cartulina, doblando las solapas resultantes. Calcular el lado de cada cuadrado para que la caja tenga el mayor volumen posible.

Consideremos el esquema adjunto:

Solucion:

El volumen de la caja resultante vendrá dado por la expresión:

V=(18−4a2)a=18a−4a3

Para calcular el máximo de esta función obtenemos su derivada e igualamos a cero:

dVda=18−12a2=0⇒3−2a2=0⇒a2=32⇒a=±32−−√

Es fácil comprobar que el valor que nos da el volumen máximo es a=+3/2−−−√ ya que el valor negativo no tiene significado físico en el contexto de este problema.

EJEMPLO No. 4

El valor de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un diamante de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos diamantees formados sea mínima.